PPG TAHAP I TAHUN 2025 - POST TEST 1,2,3 MODUL 3 FILOSOFI PENDIDIKAN DAN PENDIDIKAN NILAI

BILANGAN EKSPONEN

Pengertian Bilangan Eksponen

Bilangan Eksponen ialah bentuk suaTu bilangan perkalian dengan bilangan yang sama kemudian di ulang-ulang atau pengertian singkatnya adalah perkalian yang diulang-ulang.

Bilangan Eksponen biasa digunakan secara luas di berbagai bidang seperti: dalam bidang ekonomi, biologi, kimia, fisika, dan ilmu komputer dengan aplikasi seperti perbungaan, pertumbuhan jumlah penduduk, kinetika kimia, perilaku – perilaku gelombang dan kriptografi kunci publik atau ilmu yang mempelajari tentang bagaimana agar pesan atau dokumen seseoarang aman tidak terbaca oleh orang lain yang tidak berhak membacanya.

Contoh:

an = a x a x a x…x a (a dikalikan sebanyak jumlah n)

Contoh angkanya:

25 = 2x2x2x2x2 hasilnya 32

Sifat-Sifat Bilangan Eksponen

Terdapat beberapa sifat yang bisa kita ketahui didalam memahami bilangan eksponen yaitu di antaranya:

Pertama:

am.an = nm  +  n  (apabila dikali maka pangkatnya harus ditambah)

Contoh: 52  .  53  =  52  +  3  =  55

Kedua:

am  :  an  =  am  –  n  (apabila dibagi maka sebaliknya pangkatnya harus dikurang)

Contoh:

55 : 53 = 55 – 3 = 52

Ketiga:

( am )n  =  am x n  (apabila di dalam kurung  maka pangkatnya harus dikalikan)

Contoh: (52)3  =  52 x 3  =  56

Keempat:

(a  .  b)m  =  am  .  bm

Contoh: (3 . 6)2  =  32 .  62

Kelima:

Sifat yang ke lima ini, syaratnya “b” atau penyebutnya tidak boleh sama dengan nol (0).

Contoh:

Ke enam:

Pada sifat yang ke enam ini, apabila (an) dibawah itu bilangan positif, maka saat dipindahkan ke atas berubah menjadi negatif. Begitupun juga sebaliknya, apabila (an) dibawah itu adalah negatif, maka saat dipindahkan ke atas otomatis berubah menjadi positif. Mari kita lihat rumus dan contohnya berikut:

Ke tujuh:

Pada sifat yang ketujuh ini, kita bisa melihat bahwa terdapat akar n dari am. Apabila ketika disederhanakan, maka akar n akan menjadi penyebut dan akar m menjadi pembilang. Dengan syarat n harus lebih besar sama dengan 2. Contoh rumusnya:

Ke delapan:

Bilangan eksponen nol seperti a = 1.

Contoh:

2 = 1

6 = 1

9 = 1

Syaratnya a tidak boleh sama dengan nol.

Ke Delapan sifat eksponen diatas harus kita pahami dan hafalkan, karena sifat-sifat eksponen tersebut adalah kunci untuk kita bisa mengerjakan soal-soal eksponen.

Fungsi Eksponen dan Grafiknya

Fungsi eksponen ialah pemetaan bilangan real x ke bilangan ax dengan a  >  0 dan a  ≠  1. apabila a > dan a  ≠  1, x∈R maka f:(x)  =  ax  kemudian disebut sebagai fungsi eksponen.
Fungsi eksponen, y = f(x) =  ax : a >  0 dan a  ≠  1 mempunyai beberapa sifat-sifat sebagai berikut:

1. Kurva terletak di atas sumbu x (definit positif)
2. Memotong sumbu y di titik ( 0,1 )
3. Mempunyai asimtot datar y  =  0 (sumbu x). Arti asimtot adalah garis yang tersebut sejajar dengan sumbu x.
4. Grafik monoton naik untuk bilangan x > 1
5. Grafik monoton turun untuk bilangan 0 < x < 1

Gambar diatas adalah contoh bentuk grafiknya.

Contoh Soalnya:

Apabila f(x)  =  2x+1  tentukanlah nilai dari  f(3)  dan  f(-3)

f(3)  =  23+1  =  24  =  16

f(-3)  =  2-3+1  =  2-2  =  1/4  =  0,25

Bentuk-Bentuk Bilangan Eksponen

Didalam bilangan eksponen atau bilangan pangkat tidak selamanya selalu memiliki nilai bulat positif tetapi bisa juga bernilai nol, negatif maupun pecahan.

Bilangan Eksponen Nol (0)

Apabila a  ≠  0 maka a = 1 atau a tidak boleh sama dengan 0.
contoh:
3 =1
7 =1
128 =1
y =1

Bilangan Eksponen Negatif

Apabila m dan n merupakan bilangan bulat positif maka:
a-n = 1/an
contoh:
3-4 = 1/34 = 1/81

Bilangan Eksponen Pecahan

Rumus:

a1/n = n√a
Contoh:
21/2 =√2
21/3 = 3√2

Bentuk Persamaan Eksponen

Bentuk persamaan eksponen ialah persamaan yang didalamnya terdapat pangkat-pangkat yang berbentuk sebagai fungsi dalam x yang mana x adalah sebagai bilangan peubah.

Rumus:

1.  af(x)  =  1 ( Apabila  af(x)  =  1  dengan  a>0  dan  a ≠0,  maka f (x)  =  0)
2. af(x)  =  ap (Apabila af(x)  =  ap   dengan  a>0  dan  a≠0,  maka  f(x)  =  p)
3. af(x)  =  ag(x) (Apabila af(x)  =  ag(x) dengan  a>0  dan  a ≠0,  maka  f (x)  =  g(x))
4. af(x) =  bf(x)   (Apabila af(x)  =  bf(x)   dengan  a>0  dan  a ≠1,  b>0  dan  b  ≠1,  dan  a≠b  maka  f(x)  =  0)
5. A (af(x))2  +  B(af(x))  +  C  =  0  (Dengan  af(x)  =  p,  maka  bentuk persamaan tersebut dapat dirubah kedalam persamaan kuadrat: Ap2  +  Bp  +  C  =  0)

LOGARITMA

Pengertian Logaritma

Logaritma yaitu sebuah operasi matematika yang merupakan kebalikan (atau invers) dari eksponen atau pemangkatan. Pada rumus ini, a adalah basis atau pokok dari logaritma tersebut.

Pengertian Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma yaitu suatu persamaan yang peubahnya merupakan numerus atau bilangan pokok logaritma.

Logaritma juga bisa diartikan sebagai operasi matematika yang merupakan kebalikan (atau invers) dari eksponen atau pemangkatan.

Contoh – Contoh Logaritma

Logaritma juga memiliki contoh – contoh bilangan tersendiri, yaitu sebagai berikut :

Sifat – Sifat Persamaan Logaritma

Logaritma juga memiliki sifat – sifat tertentu, yaitu sebagai berikut :

1. Sifat Logaritma Dari Perkalian :

Suatu logaritma yaitu merupakan hasil penjumlahan dari dua logaritma lain yang nilai kedua numerus-nya merupakan faktor dari nilai numerus awal.

alog p. q = alog p + alog q

Dengan syaratnya yaitu = a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0.

2. Perkalian Logaritma :

Suatu logaritma a dapat dikalikan dengan logaritma b jika nilai numerus logaritma a sama dengan nilai bilangan pokok logaritma b. Hasil perkaliannya tersebut merupakan logaritma baru dengan nilai bilangan pokok sama dengan logaritma a, dan nilai numerus sama dengan logaritma b.

alog b x blog c = alog c

Dengan syaratnya yaitu = a > 0, a \ne 1.

3. Sifat Logaritma Dari Pembagian :

Suatu logaritma yaitu merupakan hasil pengurangan dari dua logaritma lain yang nilai kedua numerus-nya adalah pecahan atau pembagian dari nilai numerus logaritma awal.

alog p/q = alog p – alog q

Dengan syaratnya adalah = a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0.

4. Sifat Logaritma Berbanding Terbalik :

Suatu logaritma berbanding terbalik dengan logaritma lain yang memiliki nilai bilangan pokok dan numerus-nya saling bertukaran.

alog b = 1/blog a

Dengan syaratnya adalah = a > 0, a \ne 1.

5. Logaritma Berlawanan Tanda :

Suatu logaritma berlawanan tanda dengan logaritma yang memiliki numerus-nya yaitu merupakan pecahan terbalik dari nilai numerus logaritma awal.

alog p/q = – alog p/q

Dengan syaratnya adalah = a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0.

6. Sifat Logaritma Dari Perpangkatan :

Suatu logaritma yaitu dengan nilai numerus-nya merupakan suatu eksponen (pangkat) dan dapat dijadikan logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pengali.

alog bp = p. alog b

Dengan syaratnya adalah = a > 0, a \ne 1, b > 0

7. Perpangkatan Bilangan Pokok Logaritma :

Suatu logaritma yaitu dengan nilai bilangan pokoknya merupakan suatu eksponen (pangkat) yang dapat dijadikan logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pembagi.

aplog b = 1/palog b

Dengan syaratnya adalah = a > 0, a \ne 1.

8. Bilangan Pokok Logaritma Sebanding Dengan Perpangkatan Numerus :

Suatu logaritma yaitu dengan nilai numerus-nya merupakan suatu eksponen (pangkat) dari nilai bilangan pokoknya yang memiliki hasil yang sama dengan nilai pangkat numerus tersebut.

alog ap = p

Dengan syaratnya adalah = a > 0 dan a \ne 1.

9. Perpangkatan Logaritma :

Suatu bilangan yang memiliki pangkat berbentuk logaritma, hasil pangkatnya adalah nilai yang numerusnya dari logaritma tersebut.

a alog m = m

Dengan syaratnya adalah = a > 0, a \ne 1, m > 0.

10. Mengubah Basis Logaritma :

Suatu logaritma juga dapat dipecah menjadi perbandingan dua logaritma.

plog q = alog p/a log q

Dengan syaratnya adalah = a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0

Contoh Soal Persamaan Logaritma

Diketahui logaritma 3log 5 = x dan 3log 7 = y. maka, nilai dari 3log 245 1/2 adalah….

Penyelesaian :